Um pouco sobre Binário

Binário

Com esse simples artigo vou mostrar como é feita a conversão e algumas operações bem úteis com o sistema binário e não será abordado nenhuma operação ou conversão com números com sinal. Esse sistema numérico é famosíssimo na informática e é um pouco obrigatório entendê-lo (principalmente se você quer “escovar bits” algum dia), pois as “máquinas” nas quais trabalhamos usam este sistema numérico para realizar todas as operações.
Primeiramente o nome do sistema númerico já ajuda bastante a entender como ele pode ser.
Binário significa que o sistema tem apenas 2 algarismos (1 e 0); decimal tem 10 algarismos, hexadecimal tem hexa(6) + decimal(10), total de 16, porém, como só conhecemos 10 algarismos, letras são usadas para completar o sistema, de A a F; octal tem oito algarismos…

* Na informática é comum ouvir falar e trabalhar com bits e bytes. Um bit é um dígito binário (1 ou 0) e um byte é um conjunto de oito bits. Existe também o termo nibble, cada nibble representa 4 bits.

Uma observação no sistema decimal

Todos nós estamos acostumados a fazer cálculos usando o sistema decimal. Somas, subtrações, multiplicações e divisões. A maneira como olhamos para os números é tão normal que parece ser o único sistema numérico.
Se virmos o número 123, por exemplo, raramente pensaríamos nele como:
1×10² + 2×10¹ + 3×10⁰ (1 está na casa da centena, 2 na dezena e 3 como unidade).

* Sempre que for citado um número com outro subscrito, ao lado, será o número em determinado sistema numérico.
Exemplo: 123₁₀ significa 123 no sistema decimal

Conversão decimal para binário

CONVERSÃO ENTRE INTEIROS:
Qualquer número a ser convertido, independente do número de algarismos, segue esse padrão. Peguemos o número 123₁₀ como exemplo para conversão para binário. O que precisa ser feito é divisões inteiras sucessivas até chegar no quociente zero e anotar os restos das divisões.

    123 |__2__
      1  61 |__2__
          1    30 |__2__
               0    15 |__2__
                     1    7 |__2__
                          1   3 |__2__
                              1   1 |__2__
                                   1  0

Agora organizando de baixo para cima os restos, temos 1111011₂.

* Observação: tratando-se de divisão por 2 sempre que o dividendo for ímpar o resto será 1, se for par será 0.

No sistema binário, assim como no decimal, zeros à esquerda antes de vírgula são desconsiderados e muitas vezes são úteis para preencher lacunas. Por exemplo, o número 123 tem 7 bits e se quisermos representá-lo como se fosse 1 byte, poderíamos escrever 0111 1011₂ sem problemas.

CONVERSÃO ENTRE DECIMAIS FRACIONÁRIOS:
As conversões entre decimais fracionários são feitas pegando somente a parte fracionária e multiplicando por dois até que a parte fracionária seja zero, porém há casos em que nunca se chega a zero e é comum adotar uma precisão, caso contrário a divisão nunca terminaria. Depois de feito este passo basta pegar as partes inteiras dos produtos e organizar na ordem em que foram encontradas, assim teremos a parte fracionária em binário.

Exemplo:2.2510
210 = 102
0.25     0.50
x 2      x 2
-----------     -------------
0.50     1.00

Assim temos a parte decimal representada por 01₂, não podendo eliminar os zeros à esquerda, pois estão depois da vírgula.
2.25₁₀ = 10.01₂

Convertendo de binário pra decimal: 1x2^1 + 0x2^0 + 0x2^-1 + 1x2^-2 = 2+0+0+0.5 = 2.5

Um exemplo de nunca resultar em 0 a parte fracionária é o número 67.575₁₀:

6710 = 10000112

0.575     0.150     0.300    0.600     0.200     0.400    0.800     0.600
x 2       x 2       x 2      x 2        x 2       x 2      x 2       x 2
-------------     -------------     -------------    -------------     -------------     -------------    -------------     -------------
1.150     0.300     0.600    1.200     0.400     0.800    1.600     1.200

Note que começa a repetir as divisões, é uma divisão sem fim, por isso temos que aproximar.
Nesse caso, 67.575₁₀ = 1000011.10010011₂

Soma no sistema binário

Para entender como funciona a soma no sistema binário é necessário saber os seguintes resultados:

Tabelinha:

    0 + 0 = 0
    1 + 0 = 1
    0 + 1 = 1
    1 + 1 = 0 * (e vai um, do inglês carry)

* Este “vai um” significa que o resultado da soma de 1+1 é 0 e soma-se 1 no próximo valor à esquerda.

Entendendo isto fica muito fácil e já podemos aplicar o nosso conhecimento, não há mistérios.

  * *
    1 1 0
  + 0 1 1
    -----
  1 0 0 1

Explicação rápida: Como no sistema decimal, começamos a somar da esquerda pra direita.

O valor do “vai um” será representado por um asterisco e vale sempre 1.

0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 e vai um,
* + 1 = 0 e vai um,
* + 0 = 1 (zeros à esquerda podem ser adicionados sem alterar valores)

Subtração no sistema binário

Entendendo o que foi citado acima, neste texto, não há dificuldades em subtrair binários, a única diferença na tabelinha de resultados é que 0 – 1 = 1 e vai um.

Tabelinha:
   0 - 0 = 0
   1 - 0 = 1
   0 - 1 = 1 * (e vai um pra ser subtraído do próximo digito à esquerda)
   1 - 1 = 0

Exemplo:

       * * *
       1 0 1 0
     - 0 1 1 1
       -------
       0 0 1 1

O valor do “vai um” será representado por um asterisco e vale sempre 1.

Explicação rápida:

0 - 1 = 1 e vai um
1 - * = 0 e 0 - 1 = 1 e vai um
0 - * = 1 e vai um e 1 - 1 = 0
1 - * = 0

Multiplicação no sistema binário

Para aprender a multiplicação é necessário o conhecimento da soma com binários e saber que:

Tabelinha:
   0 * 0 = 0
   1 * 0 = 0
   0 * 1 = 0
   1 * 1 = 1

Então a multiplicação só será 1 quando ambos termos forem 1.

Exemplo:

        1 1 0 0
      x 0 1 0 1
        -------
        1 1 0 0
      0 0 0 0 +
    1 1 0 0 +
  0 0 0 0 +
  -------------
  0 1 1 1 1 0 0

* Observação: Se o bit do multiplicador for 1, repete o multiplicando. Se for 0, o resultado será imediatamente 0

Divisão no sistema binário

Conhecendo a subtração no sistema binário e sabendo dividir inteiros no sistema decimal já é mais do que suficiente para realizar divisões. Caso queira tirar a prova real, a multiplicação entre binários é necessária.
Na divisão não há como criar uma tabelinha, pois a cara hora varia o comprimento do dividendo e do divisor, por isso a necessidade de conhecimento de divisão no sistema decimal.

Exemplificando:

    1 0 1 0 1 |__1 1 1___
  - 0 0 0       0 1 1
   ------
    1 0 1       * * *
     1 0 1 0
   -   1 1 1
   --------
     0 0 1 1      0 0 1 1 1
   -     1 1 1
    ----------
     0 0 0 0 0

Observações

#1 – O bit mais à direita de um número binário é conhecido como LSB (Least Significant Bit) e o mais à esquerda como MSB (Most significant Bit).
#2 – Para multiplicar um número binário por dois basta deslocar uma casa pra esquerda.
Por exemplo: 11 deslocado pra esquerda é 110.
#3 – Para dividir um número binário por dois basta deslocar uma casa pra direita.
Por exemplo: 1010 deslocado pra direita é 101.
#4 – Todo número decimal par termina com 0 em binário e todo ímpar termina com 1.
#5 – Caso exista mais de uma vez o uso de “vai um”, como em 1+1+1+1, é acumulativo para o próximo dígito.
Por exemplo: 1+1+1+1 = 100 (observação de um comentário)
#6 – Tratando-se de números com sinal há maneiras diferentes de representa-los e o artigo não aborda essas maneiras. (Entre elas estão complementos para 2).
Algumas consultas à Wikipedia foram feitas, a página de binário deles está aqui.